Инвестиции по теории Марковица – Суть и составление портфеля

В середине прошлого века портфельная теория Марковица стала настоящей революцией в мире финансов. На тот момент она была настолько необычна, что его диссертацию поначалу сочли в большей степени связанной с математикой, а не экономикой. Со временем его подход к оценке, анализу и сбору инвестиционного портфеля стал общепринятым. В 21 веке кажется невероятным, что когда-то инвесторы действовали иначе, по сути, игнорируя портфельный анализ.

Суть Теории Марковица

Гарри Марковиц известен как экономист и инвестор, но он был еще и талантливым математиком. Благодаря его усилиям появился метод разреженных матриц, под его руководством разрабатывался язык программирования Simscript.

До Марковица не было как таковой методики портфельного анализа инвестиций. Инвесторы собирали портфели, но не существовало методики, позволяющей оценить уровень риска, доходность. Большинство ориентировалось на так называемые «хорошие акции», стремясь собрать самые популярные ценные бумаги.

Гарри подключил к анализу математику и предложил подход, позволяющий максимизировать доходность портфеля с заданным уровнем риска.

При разработке теории, автор руководствовался определенными критериями.

• Большая часть инвесторов предпочтет большую надежность и выберет инвестпортфель с меньшим риском.
• Риск портфеля нельзя рассматривать как среднее арифметическое рисков каждого из его компонентов. Нужно учитывать и фактор корреляции, это ключевое, что выделяло подход Гарри Марковица.
• Для характеристики любого актива/инвестпортфеля применяются такие параметры как ожидаемая доходность и риск. Риск оценивается как стандартное отклонение доходности.
• Оптимизация портфеля напрямую зависит от корреляции между активами. Чем она выше, тем меньше пространство для маневра, у инвестора меньше возможностей для оптимизации портфеля.
• Несмотря на то, что доходность каждого актива – случайная величина у инвестора все же есть возможность на основе анализа истории подобрать оптимальное сочетание компонентов портфеля. Работа со статистикой не гарантирует то, что реальный результат будет в точности соответствовать расчетам, но, если нет форс-мажоров, то итог будет приближен к расчетам.
• Рынки всегда будут предсказуемыми. То есть в целом будет сохраняться траектория роста без затяжных периодов хаоса.

Новая на момент появления теория Марковица, позволяла подобрать оптимальное сочетание компонентов с разным соотношением надежность/доходность. Портфель становился более устойчивым, снижалась волатильность доходности.

Диаграмма Марковица

Для наглядности представим инвестпортфель в двумерной системе координат. Вертикальная ось соответствует доходности, горизонтальная – риску, также на вертикальной оси отмечена безрисковая ставка доходности. Обычно в качестве безрисковой ставки принимают ставку центробанка.

На этом графике:

• CML – Capital Market Line или линия рынка капитала. Это идеальное сочетание риска и доходности, теоретический концепт, к которому стремится каждый инвестор. Наклон линии CML можно рассматривать как коэффициент Шарпа. В отличие от Effective frontier CML предполагает инвестиции в безрисковые активы.
• Effective frontier (эффективная граница). Верхняя часть этой параболы соответствует портфелям, состоящим из рисковых активов, с максимальной доходностью при соответствующем уровне риска.
• Зеленая точка – портфель из рисковых активов с минимально возможным риском.
• Красная точка – тангенциальный портфель, точка, в которой парабола касается CML. Для этого инвестпортфеля характерен максимальный коэффициент Шарпа.
• В рамках пространства, ограниченного кривой, можно выделить множество допустимых портфелей. Каждый из которых имеет право на существование, но его можно оптимизировать. Серая граница фигуры – предел, отсекающий жизнеспособные портфели от нежизнеспособных. К категории последних относятся инвестпортфели, в которых риск не окупается возможной доходностью.

Используя этот график, инвестор может подобрать оптимальный состав портфеля для любого уровня риска. В примере выделена точка оранжевого цвета, для принятого риска R – это максимально возможная доходность.

В этом и заключается преимущество подхода Марковица.

Простыми словами инвестор получает возможность перевести свой портфель из категории обычных (серые круги на графике) на линию эффективной границы. Без дополнительных расходов доходность повышается до максимально возможной, риск при этом не растет.

В зависимости от условий задачу можно решить и другим способом. Например, снизить риск до минимума, не обращая внимание на падение доходности.

Оптимизация инвестпортфеля возможна только при условии, что в него включены активы с низкой либо отсутствующей корреляцией. Представьте, что портфель состоит из 5 нефтяных бумаг, независимо от распределения весов этих акций стоимость инвестпортфеля существенно просядет при падении нефти. В этом примере подход Марковица не принесет пользы, нужно пересмотреть состав инвестпортфеля, включить компоненты, балансирующие риск нефтяного сектора.

Как составить портфель по теории Марковица

Несмотря на простое текстовое описание применение его теории, на практике нельзя назвать простым, особенно если портфель объемный и включает десятки инструментов разного типа. Задача еще больше усложняется, если инвестор вкладывает деньги не только в акции, но и, например, в гособлигации, криптовалюту. Для разных типов активов характерны разные риски, это нужно учесть в расчетах.

В общем виде расчетная формула имеет вид:

в этой зависимости:

• Return_portfolio – доходность портфеля.
• I_riskfree – безрисковая доходность. Можно ориентироваться на ставку регулятора, доходность государственных облигаций.
• R_market – средний рыночный риск.
• σ_portfolio, σ_market – стандартное отклонение инвестпортфеля и рынка соответственно.

Упрощенно задачу оптимизации портфеля можно представить как перебор всех возможных комбинаций весов компонентов. В результате получаем массив значений риск/доходность, из них и выбирается подходящий вариант.

Если в инвестпортфеле всего 2 акции, то задачу можно решить «в лоб». То есть с определенным шагом изменять вес каждой акции и оценивать риск/доходность для разных сочетаний. Проблемы начнутся, когда вы добавите в портфель 10, 20, а может и 100 ценных бумаг. Придется перебирать сотни миллиардов, а то и триллионы возможных комбинаций.

Марковиц оптимизировал решение этой нетривиальной задачи, используя квадратичную оптимизацию. Если не вдаваться в детали, то это метод, помогающий избавиться от слепого перебора всех возможных комбинаций.

Представьте себе игру «горячо-холодно». Когда игрок ищет спрятанный предмет он постоянно передвигается в направлении увеличения температуры. Он не обследует каждый сантиметр комнаты. Примерно тот же принцип работает и в случае с практическим применением этой теории.

Ниже разберем пару примеров с ручной оптимизацией инвестпортфелей. Это позволит понять, насколько непростую задачу в свое время пришлось решать Марковицу.

Использование коэффициента бета (β)

Этот коэффициент используется для оценки уровня риска актива, соотнося его с риском по рынку в целом:

• β = 1. Доходность актива/портфеля соответствует рыночной. Если рынок вырастет на 8%, то и этот актив/портфель вырастет на те же 8%.
• β < 1. Актив/портфель можно назвать консервативным, это характерно, например, для гособлигаций. Риск ниже, чем в среднем по рынку, доходность также будет ниже.
• β > 1. Актив/портфель в теории может дать большую доходность, но риск также выше по сравнению со среднерыночным.
• β < 0. Это характерно для активов/портфелей, имеющих обратную корреляцию с рынком. Бета может быть отрицательной, например, у медвежьих биржевых фондов – их состав специально подбирается так, чтобы зеркально копировать соответствующий биржевой индекс.

Этот коэффициент можно использовать при оптимизации состава портфеля. Представьте, что в состав портфеля входят 4 актива:

• Актив А с β = 1,1.
• Актив B с β = 0,8.
• Актив C с β = 1,89.
• Актив D с β = 1,45.

Изначально капитал разделен поровну – по 25% в каждый из инструментов. Стратегия предполагает ставку на риск, инвестор согласен с дополнительными рисками и готов мириться с β до 1,4 включительно. Введем дополнительное правило – доля каждого актива не должна быть ниже 10%.

При базовом распределении активов β портфеля окажется равна –

Это означает, что портфель неоптимален с точки зрения стратегии инвестора. Вручную проводить расчеты нет смысла, используем Excel и надстройку «Поиск решения», настройки показаны ниже.

Excel позволяет провести вычисления менее чем за секунду. В результате оптимизации состава портфеля доли компонентов изменились и оказались равны:

• А – 0,10.
• B – 0,17.
• C – 0,10.
• D – 0,63.

Этот пример скорее демонстрационный поэтому использовался только один критерий – сравнение риска портфеля с рыночным. Но и этот упрощенный сценарий показывает смысл подхода Марковица, скорректировав доли активов, инвестор изменил риск и потенциальную доходность портфеля.

Оптимизация портфеля акций

Расчет можно провести буквально с нуля, самостоятельно собрав данные по доходности бумаг за несколько лет. Достаточно собрать статистику за последние 1-3 года. В таблице ниже приведены цены закрытия соответствующих бумаг.

Портфель подобран с тем, чтобы обеспечить хотя бы минимальную диверсификацию, в него включены бумаги с разным риском, относящиеся к рынкам разных стран. До оптимизации корзина включает равные доли активов, в каждую из акций направлено 25% капитала инвестора.

В расчетах ниже использовалась не обычная, а логарифмическая доходность. Для ее расчета цена закрытия в текущем месяце делится на цену закрытия прошлого месяца, затем рассчитывается натуральный логарифм результата деления.

Среднее значение доходностей по каждой акции можно рассматривать как ориентировочную доходность при прогнозировании. Например, бумаги Li Auto за год выросли на 5,06%, можно ориентироваться на это число и в будущем.

Теперь можно рассчитать риск по каждой акции. В качестве меры риска используется стандартное отклонение, в Excel есть соответствующая функция для расчета этого показателя. В роли исходных данных выступает столбец с рассчитанной помесячной доходностью каждой бумаги.

На следующем этапе рассчитывается связь между активами. С учетом вычисленной ранее доходности определяется ковариация и строится ковариационная матрица. Все это также делаем в Excel, используя надстройку «Анализ данных» и в ней пункт «Ковариация».

Расчеты можно выполнить и вручную, с помощью встроенной функции КОВАРИАЦИЯ. Но при таком сценарии придется вручную указывать все возможные пары активов и самостоятельно строить ковариационную матрицу. Надстройка делает все самостоятельно.

Ковариация – это показатель того насколько связано поведение акций друг с другом. Если, например, между бумагами Baidu и Алроса отрицательная ковариация, то движение активов не связано друг с другом. Когда акции Baidu дорожают бумаги Алроса дешевеют и наоборот.

С учетом ковариационной матрицы можно рассчитать риск портфеля и его доходность. Доходность портфеля рассчитывается как сумма произведений веса акции на ее ожидаемую доходность. До оптимизации она оказалась равна 2,50%.

С риском задача сложнее:

• Введем вектор и весов и строку весов. Для удобства они добавлены к ковариационной матрице.
• Сначала с помощью операции матричного умножения (функция МУМНОЖ в Excel) получаем промежуточный вектор. Для этого ковариационная матрица умножается на строку весов.
• Далее промежуточный вектор умножается на вектор весов. Получаем дисперсию, показатель, характеризующий волатильность портфеля. Для получения риска инвестпортфеля в целом остается извлечь корень из этого числа. Расчетная формула в Excel имеет вид КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(J6:M6;J2:M5);H2:H5)).

До оптимизации портфель оставляет желать лучшего. При ожидаемом доходе на уровне 2,5% риск оказался равен 8,27%.

Теперь применим тот же подход, что и в предыдущем примере. С помощью надстройки Поиск решения оптимизируем портфель для минимизации риска. В настройках указываем в качестве оптимизируемого параметра риск, изменяться будут значения весов (строка с долями активов).

Еще на этапе построения ковариационной матрицы можно было увидеть, что в таблице нет отрицательных значений. Это указывало на то, что возможности по оптимизации портфеля будут скромными.

Так и оказалось в итоге. При оптимизации удалось снизить риск до 7,69% с 8,27%. Правда, при этом упала и доходность – с 2,50% до 1,71%.

Доли активов после оптимизации выглядят так:

• Baidu – 18%.
• X5 – 23%.
• Алроса – 57%.
• Li Auto – 3%.

Оптимизация риска не принесла особых дивидендов. Можно попробовать сохранить риск на том же уровне (в пределах 9%) и довести доходность до максимума. При таких исходных данных доходность портфеля возрастает 4,24% при риске в 9%.

В реальных условиях составление инвестиционного портфеля по Марковицу потребовало бы пересмотра состава корзины. В ковариационной матрице должны быть отрицательные значения, при этом условии оптимизация скорее всего даст существенное улучшение по сравнению с неоптимизированным инвестпортфелем.

Этот не слишком удачный пример можно рассматривать, как свидетельство того, что подход Марковица работает, но это не волшебство и его методы не всесильны.

При неудачно подобранном составе корзины математика не поможет.

Максимум, что вы сможете сделать – несколько снизить риск и повысить доходность, но радикального улучшения результатов скорее всего не будет.

Если будете проводить подобный расчет самостоятельно, то оценивайте ковариационную матрицу. В идеале в ней должны быть отрицательные элементы, это указывает на то, что доходность активов не связана.

Критика теории Гарри Марковица

Портфельную теорию критикуют по нескольким причинам:

• Теория основана на предположении о нормальном распределении доходности актива. Автор исходил из того, что вероятнее всего поведение актива будет приближено к усредненному сценарию. Вероятность резкого роста/падения сильно падает по мере удаления от диапазона средних значений. Это упрощает расчет, но реальность показывает, что форс-мажоры могут спутать все карты.
• Волатильность доходности используется как ключевой индикатор риска. Не учитывается характер изменения доходности – актив может резко вырасти в цене или упасть, в обоих случаях он будет считаться рискованным.
• Никак не учитывается непостоянный характер корреляции между активами. Есть активы, между которым сохраняется долгосрочная устойчивая связь. Но между многими инструментами корреляция может нарушаться и даже полностью исчезать со временем. К тому же в периоды кризисов может наблюдаться одновременное падение разных активов. Это может свести на нет диверсификацию портфеля.
• Марковиц исходил из того, что инвесторы делают вложения рационально. Их цель – минимизировать риск при сохранении приемлемого дохода. Реальность может быть иной, далеко не всем удается сохранять контроль над эмоциями.
• Его подход неспособен учесть возможных черных лебедей и форс-мажоры калибром поменьше. Портфельная теория Марковица работает только на стабильном рынке, результаты которого приближены к усредненным.
• Оптимизация состава инвестпортфеля чувствительна к исходным данным. Если в истории был резкий рост волатильности, то его влияние будет ощущаться довольно долго. Из-за этого неплохие в целом бумаги могут выглядеть менее привлекательными.
• Весь подход основан на исторических данных и предположении, что прошлые тренды будут продолжаться. Это характерно не только для теории Марковица.

Это не делает портфельную теорию плохой или нежизнеспособной. Перечисленные недостатки – это скорее ее особенности, следствие ряда предположений, из которых исходил автор.

Эволюция портфельной теории

Подход Марковица стал отправной точкой, на ее основе был разработан целый набор специфических теорий, дополняющих/изменяющих классическую портфельную теорию. Ключевые из них:

1. CAPM. Обычно авторство приписывают Уильяму Шарпу, но помимо него эту модель независимо друг от друга описали Ян Моссин и Джон Линтнер. На основе САРМ Шарп разработал средне-дисперсионную модификацию подхода Марковица. Ключевое нововведение САРМ – обоснование связи между доходностью и риском. Гарри Марковиц этого не делал, а использовал лишь статистические данные по этим параметрам. В CAPM появился коэффициент бета, позволяющий соотносить риск актива с рыночным риском.
2. Black-Litterman Model, модель разработана силами Роберта Литтермана и Фишера Блэка. Изменен подход к прогнозированию доходностей активов и диверсификации портфеля. Учитывается мнение инвестора об ожидаемой доходности.
3. Behavioral Portfolio Theory (Даниэль Канеман, Ричард Талер). Здесь сделан акцент на поведенческом факторе и возможной нерациональности поведения инвестора. Также учитывается сложный состав портфелей с включением разных групп активов.
4. Арбитражная теория ценообразования (Стивен Росс). Рассматривает доходность актива как производное от множества факторов. В отличие от классической портфельной теории не сводит анализ к сопоставлению только доходности и риска.
5. Fat-tailed models или модели с толстыми хвостами. В них закладывается некая вероятность возникновения редких событий – резкого падения/роста. Классическая теория практически игнорирует такие сценарии.

Современная портфельная теория Марковица не устарела, а скорее обзавелась рядом полезных дополнений. Нет универсального единственно верного подхода к оптимизации портфеля, но из множества разных вариантов можно выбрать подходящий под ваши требования.

Игнорировать оптимизацию инвестпортфеля не стоит. Практика показывает, что практически любой портфель можно оптимизировать за счет корректировки долей активов. Вы можете получить несколько «лишних» процентов доходности буквально из ничего, всего лишь за счет математики и анализа статистики.